【解答・解説】図形の等分問題

年末の一大イベント(?)である、クリスマスも終了しました。

 

皆さんは、どのようなクリスマスをお過ごしでしたでしょうか。

 

 

クリスマスについてはさておき、

前回のブログ記事で出題した、図形の等分問題について、解答と解説を発表していきましょう。

 

 

基本的な図形である円(まる)、正三角形(さんかく)、正方形(ましかく)を、同じ大きさ、同じ形に分けるように線をかく、と言うのは、

 

就学前からお勉強をしてきている年長さんでも、答えを出すことができる問題のはずです。

 

 

この問題について、

数ある答えの中から、もっとも多くの方が選ぶであろう「正解」を、まずは発表します。

 

このようにすれば、正解です。

 

この中では、「三角の3等分」が、少しだけ難しかったかもしれません。

 

 

これ以外の、答えを考えた人も、いるかもしれませんので、

別解をいくつかご紹介します。

 

円(まる)を2つに切る線は、横でも、斜めでも実際は同じです。

そして、正方形(ましかく)の4等分は、さまざまな切り方のパターンが存在します

これ以外にも、×のマークになるように線を書いて、4つの直角二等辺三角形に分ける方法もありますね。

 

さて、ここで、

正三角形(さんかく)の別解を見てみてください。

 

実は、最初の正解も含めて、3つとも、

「三角形の中心(重心)から、120°の角を3つ作るように伸びている3本のまっすぐな線(線分)」によって分けられている、と言うことがわかります。

 

最初の答えの3本の線の形を基準(0°)としたら、

別解の左側は、それを反時計回りに60°回転させたもの、

別解の右側は、同じく反時計回りに、こちらは90°回転させたものです。

 

3本の線が重なっているところを中心として、線を回していけば、

(0°≦θ<120°の範囲に)無数に答えがある、ということになります。

 

これは、正方形を4等分するときの、直交した2本の線分においても、同じことが言えます。

(2本の線の交点を中心に、0°≦θ<90°の範囲に無数に答えがあります。)

 

 

また、形を等分するのは、必ずしもまっすぐな線である必要はありません。

 

円の2等分の場合は、

「中心から等しい距離にある2点が、中心から正反対の場所にある」ように

 

正三角形の3等分は、

「中心から等しい距離にある3点が、どの2点から中心に向かって直線を引いても、その交点の角度が120°となる」ように

 

正方形の4等分は、

「中心から等しい距離にある4点を結ぶと正方形ができる」ように、

 

それぞれ、中心から辺まで(あるいは頂点まで)連続した点をかくことで、完成します。

 

言葉での説明が、あまり上手くできませんでした。

 

「百聞は一見にしかず」ということで、

実際に、他の別解をご覧ください。

 

 

 

いかがでしたでしょうか。

 

最後の別解については、

小学生にとっては、なかなかマニアックなレベルになっていますが、

 

ぜひ、自由に、形を作図してみて、

実際に形を切って、重ね合わせることで、

「形の等分は、無限にあるんだな」ということを、確かめてみてください。

 

 

強烈な体験による学びが、

必ずや、図形問題への興味関心の向上につながるはずでしょう。

 

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